Los Números en la Naturaleza 3º ESO : noviembre 2012

Ley de Avogadro	P₁·V₁=P₂·V₂
Ley de Boyle	P₁/T₁=P₂/T₂
Ley de Charles	V₁/n₁=V₂/n₂
Ley de Guy Lussac	P·V= n·R·T
Ley de los gases ideales	(P₁·V_1)/T₁ = (P₂·V₂)/T₂
Ley generalizada	V₁/T₁=V₂/T₂

Actividad 4F: Realiza al menos dos ejercicios relacionados con cada una de las leyes anteriores

Leyes de los gases

Problemas: Leyes de los gases

lunes, 5 de noviembre de 2012

BLOQUE 5: REDONDEO

BLOQUE 5: REDONDEO

Una vez que sepas cuantas cifras significativas debes tener, el número se redondea utilizando las siguientes reglas:

- Si el primer dígito no significativo (primero de la derecha) es menor que cinco, se elimina y se mantiene el anterior que se convierte así en el último. Ejemplo si el número es 3,72; como el último dígito es 2 (menor que cinco), quedaría 3,7.

- Si el primer dígito no significativo (primero de la derecha) es igual o mayor que cinco, se añade una unidad al anterior que se convierte así en el último. Ejemplo si seguimos redondeando el resultado anterior (3,7) quedaría 4 dado que 7 es mayor que cinco, se suma una unidad al anterior que pasaría de 3 a 4.

Actividad 1: Redondea los siguientes números a las cifras significativas indicadas:

96302 a 2 54.918 a 4 0.003702 a 3

561045 a 3 8.007 a 1 23625067 a 5

Actividad 2: Redondea los resultados de las siguientes operaciones:

413.23 + 54.7 2.8 x 4.5039 6.85 / 112.04

65.336 + 47.893 32.4 – 0.128 65.3 x 0.065

Actividades 3: Un ayuntamiento encarga a un contratista la remodelación de una plaza circular de 50 m de radio. Después de acordarse un precio de 200 € por m², el contratista presenta el siguiente presupuesto:

Valor de la contrata = 200 · Área de la plaza = 200 · 3'15 · 50² = 1.575.000 €

El alcalde, que dio por bueno el valor de π (pi), lo aprobó.

a) Realiza el cálculo anterior aproximando B por 3'141592 y dinos si te parece honrado el contratista.

b) ¿Te parece honrada una aproximación de B por 3'1416?

Actividad 4: Aproximaciones de un número por exceso y por defecto

Del valor de π = 3'141592653.........., se obtienen las siguientes desigualdades:

Aproximaciones de pi	Por defecto	Por exceso
A unidades	3	4
A décimas	3,1	3,2
A centésimas	3,14	3,15

Diremos que los números de la izquierda son aproximaciones de π por defecto (son menores que él) y los de la derecha son aproximaciones por exceso (son mayores).

También diremos que:

-3 y 4 son aproximaciones a unidades,

-3'1 y 3'2 aproximaciones a décimas (o de orden 1)

-3'14 y 3'15 aproximaciones a centésimas (o de orden 2), etc.

Aproxima a centenas, unidades y milésimas el número 2.374'3376.

BLOQUE 4: Cifras Significativas

BLOQUE 4: CIFRAS SIGNIFICATIVAS.

Las cifras significativas de una medida están formas por los dígitos que se conocen no afectados por el error, más una última cifra sometida al error de la medida. Así, por ejemplo:

- si digo que el resultado de una medida es 3,72 m, quiero decir que serán significativas las cifras 3, 7 y 2. Que los dígitos 3 y 7 son cifras exactas y que el dígito 2 puede ser erróneo. O sea, el aparato de medida puede medir hasta las centésimas de metro (centímetros), aquí es donde está el error del aparato y de la medida.

- No es lo mismo 3,70 m que 3,7 m. En el primer caso queremos decir que se ha precisado hasta los centímetros mientras que en el segundo caso sólo hasta los decímetros.

Norma	Ejemplo
Son significativos todos los dígitos distintos de cero.	8723 tiene cuatro cifras significativas
Los ceros situados entre dos cifras significativas son significativos.	105 tiene tres cifras significativas
Los ceros a la izquierda de la primera cifra significativa no lo son.	0,005 tiene una cifra significativa
Para números mayores que 1, los ceros a la derecha de la coma son significativos.	8,00 tiene tres cifras significativas
Para números sin coma decimal, los ceros posteriores a la última cifra distinta de cero pueden o no considerarse significativos. Así, para el número 70 podríamos considerar una o dos cifras significativas. Esta ambigüedad se evita utilizando la notación científica.	7 · 10²tiene una cifra significativa 7,0 10² tiene dos cifras significativas

Actividad 1: Indique cuantas cifras significativas tienen las siguientes medidas:

45630 708 0.453

0.091 0.620 0.175

1.175 11.175 300.0

Actividad 2: Expresar los siguientes números con 3 cifras significativas:

54.8965 23426 2.501

Cuando el resultado de una operación matemática nos dé como resultado un número con demasiados dígitos hemos de redondearlo para que el número de cifras significativas sea coherente con los datos de procedencia.

BLOQUE 3: CÁLCULO DE ERRORES: ERROR ABSOLUTO, ERROR RELATIVO.

BLOQUE 3: CÁLCULO DE ERRORES: ERROR ABSOLUTO, ERROR RELATIVO.

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

- Error absoluto: Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

- Error relativo: Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. No tiene unidades.

Las reglas que vamos a adoptar en el cálculo con datos experimentales son las siguientes:

Una medida se debería repetir tres ó cuatro veces para intentar neutralizar el error accidental.
Se tomará como valor real (que se acerca al valor exacto) la media aritmética simple de los resultados.
El error absoluto de cada medida será la diferencia entre cada una de las medidas y ese valor tomado como exacto (la media aritmética).
El error relativo de cada medida será el error absoluto de la misma dividido por el valor tomado como exacto (la media aritmética).

Ejemplo. Medidas de tiempo de un recorrido efectuadas por diferentes alumnos:

3,01 s; 3,11 s; 3,20 s; 3,15 s

1.-Valor que se considera exacto: se halla la media

2.-Errores absoluto y relativo de cada medida:

Medidas	Errores absolutos	Errores relativos
3,01 s	3,01 - 3,12 = - 0,11 s	-0,11 / 3,12 = - 0,036 (- 3,6%)
3,11 s	3,11 -3,12 = - 0,01 s	-0,01 / 3,12 = - 0,003 (- 0,3%)
3,20 s	3,20 -3,12 = + 0,08 s	+0,08 / 3,12 = + 0,026 (+ 2,6%)
3,15 s	3,15 - 3,12 = + 0,03 s	+0,03 / 3,12 = + 0,010 (+ 1,0%)

Actividad 1: Obtenemos el error absoluto y relativo al considerar:

a) 3,5 m como longitud de un terreno que mide realmente 3,59 m.

b) 60 m como la distancia entre dos postes que están situados a 59,91 m.

Actividad 2: Queremos determinar la distancia que hay entre dos columnas con una cinta métrica que aprecia milímetros. Realizamos cinco medidas y obtenemos los siguientes valores:

80,3 cm; 79,4 cm; 80,2 cm; 79,7 cm; y 80,0 cm.

¿Cuál es el resultado de ésta medida? ¿Cuál es el error absoluto y relativo de ésta medida?

Actividad 3: Para determinar la longitud de una mesa se han realizado cuatro mediciones con una cinta métrica. Los valores obtenidos son los siguientes:

75,2 cm; 74,8 cm; 75,1 cm; y 74,9 cm.

Expresa el resultado de la medida acompañado del error absoluto. ¿Entre qué márgenes se encuentra el valor real de la longitud de la mesa?

BLOQUE 2: Notación Científica

BLOQUE 2: NOTACIÓN CIENTÍFICA.

En matemáticas y ciencias, a menudo se suelen manejar números muy grandes o muy pequeños. Una forma de evitar manejar demasiados dígitos (normalmente tendríamos problemas con las calculadoras para introducirlos) es utilizar la notación científica.

Todo número en notación científica siempre viene expresado de la misma forma:

-Una parte entera que consta de un número distinto de cero, seguido de una coma y de cifras decimales.

-Una potencia de diez, con exponente positivo o negativo.

1. ¿Cómo pasar un número muy grande a notación científica?

- Se pone como parte entera el primer dígito de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos.

- Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras no decimales que tiene el número menos una (la primera). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la izquierda. Es un exponente positivo.

Ejemplo: Poner en notación científica el número 3897000000000000

- Parte entera: 3,897

- Exponente de la potencia de diez: +15 (hay 16 dígitos no decimales, menos uno da quince)

El número en notación científica sería: 3,897·10¹⁵

2. ¿Cómo pasar un número muy pequeño a notación científica?

- Se pone como parte entera el primer dígito distinto de cero de la izquierda. Seguidamente se pone una coma y varias cifras decimales (dos o tres) con los siguientes dígitos.

- Como exponente de la potencia de 10 se pone el número de cifras decimales que tiene el número hasta la primera que sea distinta de cero (incluida). Es decir, cuántos lugares hemos movido la coma decimal hacia la derecha. Es un exponente negativo.

Ejemplo: Poner en notación científica el número 0,000000000003897

- Parte entera: 3,897

- Exponente de la potencia de diez: -12 (hay 12 dígitos decimales, hasta la cifra 3, incluyendo dicha cifra)

El número en notación científica sería: 3,897·10^-12

3. ¿Cómo pasar un número en notación científica con exponente positivo a número normal?

- Se pone la parte entera y se mueve la coma hacia la derecha tantos lugares como indica el exponente positivo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros.

Ejemplo: Poner el número que representa 4,567·10¹²

- Ponemos 4,567

- Movemos la coma hacia la derecha 12 lugares a partir de la coma (después de la cifra 7 se añaden los ceros necesarios)

El número que queda es: 4567000000000

4. ¿Cómo pasar un número en notación científica con exponente negativo a número normal?

- Se pone la parte entera y se mueve la coma hacia la izquierda tantos lugares como indica el exponente negativo de la potencia de diez. Cuando las cifras se acaban se añaden ceros. Al final se pone delante de la coma un cero.

Ejemplo: Poner el número que representa 4,567·10^-12

- Ponemos 4,567

- Movemos la coma hacia la izquierda 12 lugares (después de la cifra 4 se añaden los ceros necesarios)

El número que queda es: 0,000000000004567

Actividad 1: Expresa las siguientes cantidades en notación científica:

a) La superficie de la Tierra: 510 000 000 km²

b) La velocidad de la luz en el vacío (en m/h): 300 000 km/s

c) La población de China: 1 100 000 000 habitantes.

d) El número de Avogadro: 602 300 000 000 000 000 000 000.

Actividad 2: El peso medio de todas las personas de un país europeo es de 41,2 kilogramos. La población de dicho país es de 56 millones de individuos. Calcula el peso total de toda la población, expresando el resultado en notación ordinaria literal y en notación científica.

Actividad 3: Expresa las siguientes cantidades en notación científica (espacio = velocidad x tiempo):

a) Tiempo (en minutos) que tarda la luz en ir de la Tierra al Sol.

b) Velocidad con que se desplaza la Tierra alrededor del Sol, expresando el resultado en km/h. (notación científica) y en km/seg.

Datos:

- Distancia media de la Tierra al Sol: 1 496 x 10⁵km.

- Radio del Sol: 695 x 10³ km.

- Velocidad de la luz: 300 000 km/s

Actividad 4: Expresa las siguientes cantidades en notación científica:

a) Peso de un grano de arroz (en gramos): 0,000096 kilogramos.

b) El precio de una casa (en pesetas): veinticuatro millones doscientas mil de pesetas.

c) El paso (en milímetros) de un tornillo de reloj: 0,00015 metros.

BLOQUE 1: Las Magnitudes y su Medidas

BLOQUE 1: LAS MAGNITUDES Y SU MEDIDAS

ACTIVIDAD 1. Con objeto de establecer en qué consiste el proceso de medida, proceded a medir la anchura de vuestra mesa de trabajo y, a continuación, tratar de definir qué magnitud se ha medido, qué unidad de medida se ha utilizado y especificad qué valor se ha obtenido.

· Magnitud que se ha medido:

· Unidad de medida que se ha utilizado:

· Resultado de la medida:

ACTIVIDAD 2. Construid una tabla de dos columnas (magnitudes, unidades) y distribuid en ella convenientemente los siguientes términos: velocidad, metro, amperio, longitud, tiempo, superficie, grado centígrado, g/cm³, newton, m², kilogramo, volumen, m/s, segundo, litro, masa, densidad, peso, temperatura, intensidad de corriente eléctrica. Después, intentad emparejar cada magnitud con una unidad que le corresponda.

MAGNITUDES	UNIDADES

ACTIVIDAD 3. Unid mediante flechas las unidades de la columna de la izquierda con los símbolos correspondientes de la columna de la derecha

Unidades			Símbolos
Kilogramo			m
Segundo			ºC
Gramo			N
Litro			s
Metro			kg
Grado centígrado			l
Newton			g

ACTIVIDAD 4. A continuación se dan una serie de medidas:

a) 2 mm

b)1 l

c) 1 kg

d) 5 g

e) 1 cm³

f) 1 m²

g) 100 m³

h ) 40 km

y una serie de “objetos” y magnitudes:

1) 4 naranjas medianas

2) un anillo

3) volumen de una botella vacía

4) distancia entre Valencia y Buñol

5) volumen de un dado de jugar al parchís

6) grosor de una moneda

7) superficie de una mesa

8) volumen de una habitación.

Asignad a cada letra el número correspondiente.

ACTIVIDAD 5. Expresad en unidades internacionales cada uno de los resultados contenidos en la columna de la izquierda, siguiendo (si es posible) las mismas pautas que en el ejemplo resuelto

85 mm	0,085m	85 · 10^-3	8,5 · 10^-3
7 cm
250 g
0,005 g
250 ml
500 g
30 hg
7 dm

ACTIVIDAD 6. Proceder a completar la siguiente tabla:

50 km	m
0,5 m²	cm²
1 l	cm³
500 g	kg
8 mm	m
1 km²	m²
250 cm³	l
60 kg	g
20 m	km
48 dm²	m²
1 hm³	l
30 g	mg

ACTIVIDAD 7. Calculad:

a) A cuantos segundos equivalen 1’5 horas

b) A cuantas horas equivale 1 s

c) Cuantos segundos hay en un día